Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Как в евклидовой геометрии точка и прямая — главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин….

Определение параллелограмма

 Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, — высотой (BE и BF), линии AC и BD — диагоналями.

 с  параллелограмм свойства и признаки

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник — это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

 Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением, их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

  1. Стороны, которые являются противоположными, — попарно одинаковые.
  2. Углы, расположенные противоположно друг другу — попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

с

Характеристики диагоналей фигуры

 Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е — это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника — ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно правилу параллельных прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Параллелограмм свойства и признаки

Особенности смежных углов

 У смежных сторон сумма углов равна 180°, поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

  1. биссектрисы, опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными,
  2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы,
  3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности — AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Параллелограмм свойства и признаки

Вычисление площади фигуры

 Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF — равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD — равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: SABE и SEBCD, а также SDCF и SEBCD. Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

SABCD = SEBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb, а сторону — b. Соответственно:

параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

Другие способы нахождения площади

 Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол, который они образуют, — второй известный метод.

параллелограмм свойства и признаки,

где:

Sпр-ма — площадь,

a и b — его стороны

α — угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если высота неизвестна. Перпендикуляр всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть параллелограмм свойства и признаки. Преобразуя соотношение, получаем параллелограмм свойства и признаки . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением параллелограмм свойства и признаки, где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку параллелограмм свойства и признаки , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть параллелограмм свойства и признаки . Поскольку AE+CE=AC= d1 и BE+DE=BD= d2, формула площади сводится до:

параллелограмм свойства и признаки.

Применение в векторной алгебре

 Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы параллелограмм свойства и признаки и параллелограмм свойства и признаки   не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала — т. о. — строим векторы параллелограмм свойства и признаки и параллелограмм свойства и признаки. Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB — стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе параллелограмм свойства и признаки или сумме параллелограмм свойства и признаки.

параллелограмм свойства и признаки

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

  1. a и b, α — стороны и угол между ними,
  2. d1 и d2 , γ — диагонали и угол в точке их пересечения,
  3. ha и hb — высоты, опущенные на стороны a и b,
Параметр Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними  параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

по диагоналям и стороне  параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

через высоту и противоположную вершину  параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними  параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

по сторонам и одной из диагоналей  Параллелограмм свойства и признаки

Параллелограмм свойства и признаки

Нахождение периметра
через стороны  Параллелограмм свойства и признаки
по диагоналям и стороне  Параллелограмм свойства и признаки
по стороне, углу между ними и высоте  Параллелограмм свойства и признаки

Параллелограмм свойства и признаки

Вычисление площади
при известных сторонах и перпендикуляру из вершины  Параллелограмм свойства и признаки
по сторонам и углу, который они создают  Параллелограмм свойства и признаки
по диагоналям и углу, который они создают  Параллелограмм свойства и признаки

Важно! Способов вычисления параметров этой фигуры значительно больше, однако, почти все из них вытекают или из ее свойств, или преобразуются друг из друга.

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Вывод

Параллелограмм как одна из ключевых фигур геометрии находит применение в жизни, например, в строительстве при подсчете площади участка или других измерений. Поэтому знания об отличительных признаках и способах вычисления различных его параметров могут пригодится в любой момент жизни.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: