Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.

Свойства и правила раскрытия, используемые при решении упражнений и на экзаменах, будут полезны школьникам и студентам.

Что такое модуль в математике

Модуль числа описывает расстояние на числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение: |x|.

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.

Свойства модуля

Важно помнить о следующих свойствах:

  1. Правило раскрытия: абсолютная величина любого числа больше или равна нулю:Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
  2. Если абсолютные значения содержат выражения противоположных значений, они равны:Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
  3. Значение числа не превышает величину его модуля:Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
  4. Правило раскрытия при произведении:Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
  5. Правило, применимое при делении:Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
  6. При возведении в степень:Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
  7. Сумма величин:Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
  8. Двойной модуль:Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль комплексного числа

Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi, поэтому абсолютная величина комплексного числа – это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a+ bi.

Как решать уравнения с модулем

Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнения типа |x| = a

Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если |x| &lt, a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Уравнения типа |x| = |y|

Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).

Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.

Уравнения типа |x| = y

Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида |x| = a

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.

Ответ: 2 и −2.

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Далее определяется знак на интервалах: на промежутке  величина будет отрицательной, а на интервале  будет положительной.

Разделим интервал на 2 части:

  1. для x + 2 ≥ 0

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1, + ∞).

  1. для х + 2 &lt, 0

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞, –3].

Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:

x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Ответ: x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Уравнения вида |x| = |y|

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Решение:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Ответ: x1 = 3, x2 = − 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Решение:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Уравнения вида |x| = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Решение:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что  не лежит в промежутке .

Ответ: x = 0.

Модуль суммы

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль разности

Абсолютная величина разности двух чисел x и y равна расстоянию между точками с координатами X и Y на координатной прямой.

Пример 1.

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Пример 2.

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль отрицательного числа

Для нахождения абсолютного значения числа, которое меньше нуля, нужно узнать, как далеко оно расположено от нуля. Поскольку расстояние всегда является положительным (невозможно пройти «отрицательные» шаги, это просто шаги в другом направлении), результат всегда положительный. То есть,

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Проще говоря, абсолютная величина отрицательного числа имеет противоположное значение.

Модуль нуля

Известно свойство:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Вот почему нельзя сказать, что абсолютная величина – положительное число: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.

Модуль в квадрате

Модуль в квадрате всегда равен выражению в квадрате:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Примеры графиков с модулем

Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.

Пример 1.

Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.

Решение:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.

Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.

Решение:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).

Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.

Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.

Метод интервалов в задачах с модулем

Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.

Для использования метода нужно совершить следующие действия:

  1. Приравнять каждое выражение к нулю.
  2. Найти значения переменных.
  3. Нанести на числовую прямую точки, полученные в пункте 2.
  4. Определить на промежутках знак выражений (отрицательное или положительное значение) и нарисовать символ – или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
  5. Решить неравенства с полученными знаками.

Пример 1. Решить методом интервалов.

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Решение:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Результатом будет сумма всех подходящих интервалов.

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль в модуле

Среди примеров часто встречаются уравнения, где нужно найти корни равенств такого вида: ||ax – b| – c| = kx + m.

Лучше всего понять принцип на примере.

Пример 1. Решить

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Решение:

Первым делом нужно раскрыть внутренний модуль. Для этого рассматривается два варианта:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

В первом случае выражение положительное, а во втором отрицательное. Исходя из этого, получаем:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Нужно упростить два уравнения:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Далее каждое из равенств разделяется еще на два:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Получено четыре результата:

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Заключение

Самое важное, что нужно знать: модуль не может быть отрицательным.

Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов.

В качестве итогов, напомним все свойства, которые помогут в решении задач:

  • когда положительное число находится внутри модуля, достаточно просто избавиться от него,
  • если есть выражение, нужно его упростить, прежде чем найти абсолютное значение,
  • если равенство содержит две переменные, нужно решать его с помощью системы уравнений и за основу брать методы решения выражений с абсолютными величинами.

Решать равенства и неравенства можно разными способами, но лучше всего использовать графический способ или метод интервалов.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: