Формулы сокращённого умножения (ФСУ): таблица и применение

Формулы сокращённого умноженияОдной из первых тем, изучаемых в курсе алгебры, являются формулы сокращённого умножения. В 7 классе они применяются в самых простых ситуациях, где требуется распознать в выражении одну из формул и выполнить разложение многочлена на множители или, наоборот, быстро возвести сумму или разность в квадрат или куб. В дальнейшем ФСУ используют для быстрого решения неравенств и уравнений и даже для вычисления некоторых числовых выражений без калькулятора.

Как выглядит список формул

Как применять формулы сокращённого умноженияСуществует 7 основных формул, позволяющих быстро осуществить перемножение многочленов в скобках.

Иногда в этот список также включается разложение для четвёртой степени, которое следует из представленных тождеств и имеет вид:

a⁴ b⁴ = (a — b)(a + b)(a² + b²).

Все равенства имеют пару (сумма — разность), кроме разности квадратов. Для суммы квадратов формула не приводится.

Остальные равенства легко запоминаются:

  1. Решение формулами сокращённого умноженияРазница между квадратом суммы и разности заключается в знаке перед удвоенным произведением величин.
  2. В случае с суммой и разностью кубов в (a ± b) знак совпадает со знаком (a3±b3). Второй сомножитель — так называемый неполный квадрат, поскольку он напоминает квадратный трёхчлен, возникающий после раскрытия скобок в квадрате суммы или разности. Здесь в ситуации с суммой появляется знак минуса перед ab, в противном случае знак заменяется на +.
  3. В кубе суммы все знаки положительные, в случае с разностью появляются минусы перед 3a²b и b³.

Следует помнить, что ФСУ работают в любом случае и для любых величин a и b: это могут быть как произвольные числа, так и целые выражения.

В ситуации, если вдруг не получается вспомнить, какой знак стоит в формуле перед тем или иным слагаемым, можно раскрыть скобки и получить тот же результат, что и после использования формулы. Например, если проблема возникла при применении ФСУ куба разности, нужно записать исходное выражение и поочерёдно выполнить умножение:

(a — b)³ = (a — b)(a — b)(a — b) = (a² ab — ab + b²)(a — b) = a³ a²b — a²b + ab² a²b + ab² + ab² b³ = a³ 3a²b + 3ab² b³.

В результате после приведения всех подобных членов был получен такой же многочлен, как и в таблице. Такие же манипуляции можно проводить и со всеми остальными ФСУ.

Как легко решать задачи формулами сокращённого умножения

Применение ФСУ для решения уравнений

К примеру, нужно решить уравнение, содержащее многочлен 3 степени:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

В школьной программе не рассматриваются универсальные приёмы для решения кубических уравнений, и подобные задания чаще всего решаются более простыми методами (например, разложением на множители). Если заметить, что левая часть тождества напоминает куб суммы, то уравнение можно записать в более простом виде:

(x + 1)³ = 0.

Корень такого уравнения вычисляется устно: x = -1.

Аналогичным способом решаются неравенства. Для примера можно решить неравенство x³ 6x² + 9x &gt, 0.

Применение формул сокращённого умножения

В первую очередь необходимо разложить выражение на множители. Вначале нужно вынести за скобку x. После этого следует обратить внимание, что выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности.

Затем необходимо найти точки, в которых выражение принимает нулевые значения, и отметить их на числовой прямой. В конкретном случае это будут 0 и 3. Затем методом интервалов определить, в каких промежутках x будет соответствовать условию неравенства.

ФСУ могут оказаться полезными при выполнении некоторых расчётов без помощи калькулятора:

703² 203² = (703 + 203)(703 — 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Кроме того, раскладывая выражения на множители, можно легко выполнять сокращение дробей и упрощение различных алгебраических выражений.

Примеры задач для 7−8 класса

В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре. Если вы новичек, то лучше всего начать играть без настоящих ставок. Однако если уже вы решились, то найти интернет казино вулкан с выводом на реальные деньги можно с помощью рейтингов или же обратившись за советом к более опытным гемблерам. В принципе можно попробовать метод проб и ошибок, но это будет сложнее и дольше.

Задача 1. Упростить выражение:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m — 1) — 2m (5m + 3).

Решение. В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые. Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.

  • (m + 3)² = m² + 6m + 9 (квадрат суммы),
  • (3m + 1)(3m — 1) = 9m² 1 (разность квадратов),
  • В последнем слагаемом необходимо выполнить перемножение: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Как запомнить формулы сокращённого умножения

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

(m² + 6m + 9) + (9m² 1) — (10m² + 6m).

С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 — 10m² 6m = 8.

Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ 4k² 4k = k³.

Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:

k³(k² + 4k + 4) — k (k² + 4k + 4) = 0.

Снова необходимо вынести общий множитель:

(k³ k)(k² + 4k + 4) = 0.

Из первого полученного сомножителя можно вынести k. По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)²:

k (k² 1)(k + 2)² = 0.

Использование формулы разности квадратов:

k (k — 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:

  1. k = 0,
  2. k — 1 = 0, k = 1,
  3. k + 1 = 0, k = -1,
  4. (k + 2)² = 0, k = -2.

На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.

Читайте также:  Что такое ДНК и РНК: каковы функции нуклеиновых кислот в клетке
Оцените статью
Информационный образовательный портал: актуальную информацию в сфере образования и карьерного роста