Равносторонний треугольник — это самый простой правильный многоугольник из возможных. При нахождении его площади возникают частные варианты его расчета. Важно знать и понимать признаки и свойства этого вида фигур, для более легкого вычисления этого параметра. Все методы, представленные ниже, достаточно просты в применении, и не потребуют глубокого осмысления….
Признаки и свойства фигуры
Для того чтобы рассчитать его площадь необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Можно выделить следующие основные признаки этой фигуры:
- Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
- Биссектриса, высота и медиана выпущенные из одного угла будут совпадать.
- Любая сторона равностороннего треугольника равна двум другим.
- Центр правильного треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности.
- Является частным случаем равнобедренного треугольника.
Важно! Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним. 
Равносторонний треугольник
Дополнительно этот частный случай фигуры обладает следующими свойствами:
- Средняя линия, которая делит две боковые стороны пополам, равняется половине основания, параллельно которому она располагается.
- Сумма всех его углов не превышает 180 градусов.
- Радиус вписанной окружности рассчитывается по следующей формуле r =
, а описанной согласно выражению R =
. - Радиус описанной окружности в правильном треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной.
Расчет через сторону
Существует множество способов расчета площади этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самая популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом:
, где, a и b – стороны, α – угол между ними.
В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все углы этой фигуры равны, и равняются 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется 
, преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: 
.
Учитывая то, что все стороны этой фигуры равны, то преобразованное выражение даст такой результат:
.
Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны этой фигуры. В таком виде вычислять данный показатель гораздо легче и быстрее.
Те, кто помнит формула Герона, знают, как найти площадь этой фигуры. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь этой фигуры по Герону рассчитывается так: 
, где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр (
). Преобразовывается данное выражение достаточно просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон можно представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:
,
,
,
.
Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.
Вычисление площади треугольника по его стороне
Расчет по высоте
Найти площадь равностороннего треугольника можно также, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты умножается на сторону, выбрана может быть любая высота и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: 
, где a – это длина стороны. Ее легко запомнить, однако, на практике она применяется достаточно редко.
Если в задаче указана информация о том, что треугольник является равносторонним и известна величина высоты. А чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее рассчитать. Найти сторону можно разделив двойную величину высоты на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: 
. После этого применяется формула площади, где расчеты производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.
Для того чтобы не делать лишних расчетов можно вывести формулу этого показателя сразу же через высоту. Квадрат высоты делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: 
. В этом случае можно не применять формулу равнобедренного треугольника через сторону.
Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте
Расчет через окружности
В математике популярен также прием расчета, рассматриваемого в статье, значения через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окружность называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.
Описанная окружность обязательно должна проходить через все вершины, вписанная должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.
Чертеж равностороннего треугольника, описанного или вписанного в окружность
Если в условии задачи дан радиус вписанной и описанной окружности, то из них также можно составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину высоты. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .
Преобразовав формулу , применив расчет высоты h = R + r, можно получить следующее значение: 
. Данную формула можно упростить еще больше, ведь радиус описанной окружности можно выразить через радиус вписанной. Согласно свойствам этих окружностей R = 2r, где r — это радиус вписанной окружности, R — это радиус описанной. Соответственно площадь правильного треугольника будет высчитываться так: 
.
Если же будет дан размер радиуса описанной окружности, то выражение будет выглядеть следующим образом:
.
Использование этих свойств пригодится для расчета стороны фигуры. Для того чтобы ее найти можно воспользоваться выражением 
для описанной окружности, и 
для вписанной.
Учитывая радиус описанной окружности можно найти искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на радиус, увеличенный в 4 раза. Математически его можно записать следующим образом: 
.
Процесс расчета, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.
Внимание! Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.
Площадь равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность
Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.