Основы геометрии: что это такое биссектриса треугольника

Треугольник в геометрии основная фигура, которую нельзя разделить на составляющие. Отрезок прямой линии, соединяющий вершину с противоположной стороной, при условии разделения угла пополам, это биссектриса треугольника. Так как данная фигура содержит 3 угла, соответственно, из каждого можно провести линию, делящую его на равные компоненты.

Свойства биссектрисы

как найти биссектрису треугольникаРавносторонняя треугольная фигура характеризуется не только равенством сторон, но внутренние углы также одинаковы, при этом они составляют 60° каждый.

Поэтому проведенная биссектриса одновременно является высотой, медианой. Она обладает не только своими качествами, но и характеристиками высоты, медианы треугольника:

  • делит противоположные стороны на равные части,
  • перпендикулярна к противолежащей стороне,
  • в точке пересечения 3 линий каждый отрезок делится в соотношении 2:1, считая от вершины (свойство медианы),
  • из центра пересечения можно одновременно провести окружность внутри и вокруг фигуры,
  • линии, делящие на равные части внешние углы правильного треугольника, параллельны противоположно расположенным сторонам фигуры,
  • все 3 отрезка, проведенные из вершин, равны по длине.

Это интересно! Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

Наиболее простая формула, определяющая, как найти биссектрису треугольника, выражается через радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности:

  • l=3r,
  • l=3R/2.

Характеристика внутренних линий

биссектриса треугольника формулаОсновное свойство биссектрисы треугольника с равными боковинами: отрезок, опущенный из вершины, одновременно является медианой, высотой.

При этом, кроме разделения угла на 2 равные части, линия характеризуется следующими качествами:

  • делит нижнее основание пополам,
  • служит перпендикуляром к противолежащей стороне,
  • отрезок луча, разделяющий внешний угол вершины с равными боковинами, параллелен основанию.

Важно! Биссектрисы равных углов у основания также равны между собой по длине.

При этом верно обратное утверждение: когда 2 биссектрисы равны между собой, то треугольник считается равнобедренным.

Если вершина содержит 90° (прямой угол), то отрезки, опущенные на катеты, пересекаются под 45°. В этом случае определить размер искомого отрезка помогает теорема Пифагора.

Это интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

Пример

свойство биссектрисы треугольникаВ треугольнике АВС вершина А содержит 90°. Отрезок АД служит высотой, биссектрисой и медианой одновременно. Образованы 2 прямоугольные трехсторонние фигуры: АВД и АСД, у которых равны основания (ВД=СД). Требуется найти длину отрезка АД.

По теореме Пифагора АД2 = АВ2-ВД2. Отсюда АД = √АВ2-ВД2.

Это интересно! Изучаем символы: как обозначается в математике площадь

Соотношение со сторонами треугольника

Слово, в переводе с латинского языка, обозначает «сечение поперек». Чем отличается биссектриса от других главных и второстепенных отрезков треугольной фигуры, было известно еще Архимеду, который в своих трудах активно использовал ее свойства для определения сторон многоугольников. При этом количество сторон должно быть кратным трем. Классическая теорема о биссектрисе гласит, что линия разделяет противоположную сторону на 2 отрезка, отношение которых друг к другу такое же, как соотношение двух соприкасающихся к основанию сторон.

Пример

что такое биссектриса треугольника в геометрииДан треугольник АВС. Из вершины А проведена биссектриса АД, разделяющая сторону ВС на 2 отрезка (ДВ и ДС). Смысл теоремы сводится к равенству нескольких величин: ВД/АВ=СД/АС и ВД/ДС=АВ/АС. Лучше понять формулу помогает фото треугольника с проведенной линией.

Характеристика линий:

  • любая биссектриса, выпущенная из вершины неправильного треугольника, расположена между медианой и высотой, выходящей из этого же места,
  • все точки, расположенные на отрезке, удалены от сторон по бокам вершины на одинаковое расстояние,
  • лучи, разделяющие пополам внешний и внутренний угол треугольной фигуры, перпендикулярны между собой,
  • все отрезки, делящие на равные части внутренние углы, пересекаются в строго определенной точке, которая служит центром вписанной в эту фигуру окружности,
  • если две биссектрисы равны по длине, то фигура – равнобедренная, если все одинакового размера, треугольник – правильный.

Способы построения

как вычислить биссектрису треугольникаЗная, что такое биссектриса, легко определить расположение отрезка в треугольной фигуре. Для построения применяется несколько способов:

  1. Известен угол, из которого исходит прямая, делящая его на равные сегменты. Значение делится пополам. На рисунке с помощью транспортира строится нужный отрезок.
  2. Если параметры угла неизвестны, его измеряют транспортиром, делят пополам, затем проводят искомую линию.
  3. Оригинальный способ построить нужный отрезок с помощью карандаша, линейки и циркуля. Из любой вершины проводится окружность произвольного радиуса. Главное, что величина должна быть меньше, чем прилегающая сторона. Место пересечения с каждой стороной считается центром для еще двух окружностей с таким же шагом циркуля. Нарисовать еще два круга, которые пересекаются между собой два раза. Через полученные точки и вершину под линейку проводится прямая, которая и есть настоящая биссектриса внутреннего угла.
  4. Построить треугольник по известной длине трех отрезков (АВ, ВС, АС) можно с помощью линейки и циркуля. На произвольной прямой линии обозначить сегмент, равный АВ. Из точки А провести окружность с шагом циркуля равным АС, а затем аналогично из точки В провести окружность с шагом ВС. Точка пересечения – вершина искомой треугольной фигуры (С), в которой легко определяются биссектрисы, учитывая их характеристики.

Важно! Если известны только размеры биссектрис, то построить по данным параметрам возможно бесконечное количество подобных фигур.

Полезное видео

Подведем итоги

Зная значение и характеристики главных линий в треугольной фигуре, можно решать много задач, определять величину углов, длину, изучать соотношение сторон.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: